什么是平衡二叉树？

为什么叫AVL树？ 因为AVL树是由 G.M.Adelson-Velsky 和 E.M.Landis 这两位俄罗斯科学家在1962年的论文中首次提出，是最早的自平衡二分搜索树结构。 由于AVL树是自平衡二分搜索树，所以本质上还是二分搜素树，也就是二分搜索树的性质AVL树都满足，由于二分搜索树在添加有序元素时，会退化成链表，造成时间复杂度为O(n)，但AVL树是不会出现这种情况的，因为AVL树通过自平衡来解决了退化成链表的问题。 平衡二叉树：对于任意一个节点，左子树和右子树的高度差都不能超过1。

为了更好的维护AVL树的自平衡，我们可以在每个节点中，标注该节点的高度，并计算该节点的平衡因子。平衡因子就是左子树的高度减去右子树的高度。

现在让我们来基于二分搜索树，代码实现一个AVL树，这里先实现一个二分搜索树，代码如下：

/**
 * AVL树是基于之前实现的二分搜索树，只不过加了自平衡机制
 * 因此AVL树中的元素仍然必须具有可比较性
 * 这里把AVL树设计成键值对的形式，方便后续基于AVL树实现Set和Map
 */
public class AVLTree<K extends Comparable<K>,V> {

    //节点
    private class Node{
        public K key;
        public V value;
        public Node left, right;
        //当前节点的高度
        public int height;

        public Node(K key, V value){
            this.key = key;
            this.value = value;
            left = null;
            right = null;
            height = 1;
        }
    }
    
    private Node root;
    private int size;
    
    public AVLTree(){
        root = null;
        size = 0;
    }
    
    public boolean isEmpty(){
        return this.size == 0;
    }
    
    //获取节点node的高度
    public int getNodeHight(Node node){
        if (node == null)
            return 0;
        return node.height;
    }
    
    //获取节点node的平衡因子
    public int getBalanceFactor(Node node){
        if (node == null)
            return 0;
        //平衡因子：左子树的高度 - 右子树的高度
        return getNodeHight(node.left) - getNodeHight(node.right);
    }

    // 向二分搜索树中添加新的元素(key, value)
    public void add(K key, V value){
        root = add(root, key, value);
    }

    // 向以node为根的二分搜索树中插入元素(key, value)，递归算法
    // 返回插入新节点后二分搜索树的根
    private Node add(Node node, K key, V value){

        if(node == null){
            size ++;
            return new Node(key, value);
        }

        if(key.compareTo(node.key) < 0)
            node.left = add(node.left, key, value);
        else if(key.compareTo(node.key) > 0)
            node.right = add(node.right, key, value);
        else // key.compareTo(node.key) == 0
            node.value = value;

        // 更新height
        node.height = 1 + Math.max(getNodeHight(node.left), getNodeHight(node.right));

        // 计算平衡因子
        int balanceFactor = getBalanceFactor(node);
        if(Math.abs(balanceFactor) > 1)
            System.out.println("unbalanced : " + balanceFactor);

        return node;
    }

    // 返回以node为根节点的二分搜索树中，key所在的节点
    private Node getNode(Node node, K key){

        if(node == null)
            return null;

        if(key.equals(node.key))
            return node;
        else if(key.compareTo(node.key) < 0)
            return getNode(node.left, key);
        else // if(key.compareTo(node.key) > 0)
            return getNode(node.right, key);
    }
    
    public boolean contains(K key){
        return getNode(root, key) != null;
    }

    public V get(K key){

        Node node = getNode(root, key);
        return node == null ? null : node.value;
    }

    public void set(K key, V newValue){
        Node node = getNode(root, key);
        if(node == null)
            throw new IllegalArgumentException(key + " doesn't exist!");

        node.value = newValue;
    }

    // 返回以node为根的二分搜索树的最小值所在的节点
    private Node minimum(Node node){
        if(node.left == null)
            return node;
        return minimum(node.left);
    }

    // 删除掉以node为根的二分搜索树中的最小节点
    // 返回删除节点后新的二分搜索树的根
    private Node removeMin(Node node){

        if(node.left == null){
            Node rightNode = node.right;
            node.right = null;
            size --;
            return rightNode;
        }

        node.left = removeMin(node.left);
        return node;
    }

    // 从二分搜索树中删除键为key的节点
    public V remove(K key){

        Node node = getNode(root, key);
        if(node != null){
            root = remove(root, key);
            return node.value;
        }
        return null;
    }

    private Node remove(Node node, K key) {

        if (node == null)
            return null;

        if (key.compareTo(node.key) < 0) {
            node.left = remove(node.left, key);
            return node;
        } else if (key.compareTo(node.key) > 0) {
            node.right = remove(node.right, key);
            return node;
        } else {   // key.compareTo(node.key) == 0

            // 待删除节点左子树为空的情况
            if (node.left == null) {
                Node rightNode = node.right;
                node.right = null;
                size--;
                return rightNode;
            }

            // 待删除节点右子树为空的情况
            if (node.right == null) {
                Node leftNode = node.left;
                node.left = null;
                size--;
                return leftNode;
            }

            // 待删除节点左右子树均不为空的情况

            // 找到比待删除节点大的最小节点, 即待删除节点右子树的最小节点
            // 用这个节点顶替待删除节点的位置
            Node successor = minimum(node.right);
            successor.right = removeMin(node.right);
            successor.left = node.left;

            node.left = node.right = null;

            return successor;
        }
    }

}

由上述代码可以看出，我们并没有实现AVL树的自平衡机制，只是在二分搜索树的基础上，加入了对高度的维护，和获取平衡因子的方法。因为AVL树是对于二分搜索树的一种改进，只不过解决了退化成链表的问题，AVL树也是二分搜索树，所以也需要满足二分搜索树的性质。我们可以根据二分搜索树的中序遍历是顺序的性质，来判断是否是二分搜索树。代码实现如下：

    // 判断该二叉树是否是一棵二分搜索树
    public boolean isBST(){
        List<K> keys = new ArrayList<>();
        inOrder(root, keys);
        for(int i = 1 ; i < keys.size() ; i ++)
            if(keys.get(i - 1).compareTo(keys.get(i)) > 0)
                return false;
        return true;
    }

    //二分搜素树的中序遍历 -- 递归实现
    private void inOrder(Node node, List<K> keys){

        if(node == null)
            return;

        inOrder(node.left, keys);
        keys.add(node.key);
        inOrder(node.right, keys);
    }

    //判断该二叉树是否是一颗平衡二叉树
    public boolean isBalanced(){
        return isBalanced(root);
    }

    //判断以Node为根的二叉树是否是一棵平衡二叉树，递归算法
    private boolean isBalanced(Node node) {
        if (node == null)
            return true;

        int balanceFactor = getBalanceFactor(node);
        //判断当前节点的平衡因子是否大于1
        if(Math.abs(balanceFactor) > 1)
            return false;
        return isBalanced(node.left) && isBalanced(node.right);
    }

    //获取节点node的高度
    public int getNodeHight(Node node){
        if (node == null)
            return 0;
        return node.height;
    }

在什么时候维护平衡？

加入节点后，沿着节点向上维护平衡性。

插入的元素在不平衡节点左侧的左侧（LL）

对于这种情况我们就需要对这个不平衡节点进行右旋转（顺时针旋转）

右旋转代码实现：

    // 对节点y进行向右旋转操作，返回旋转后新的根节点x
    //        y                              x
    //       / \                           /   \
    //      x   T4     向右旋转 (y)        z     y
    //     / \       - - - - - - - ->    / \   / \
    //    z   T3                       T1  T2 T3 T4
    //   / \
    // T1   T2
    private Node rightRotate(Node y) {
        Node x = y.left;
        Node T3 = x.right;
        
        //右旋转
        x.right = y;
        y.left = T3;

        // 更新height
        y.height = Math.max(getNodeHight(y.left), getNodeHight(y.right)) + 1;
        x.height = Math.max(getNodeHight(x.left), getNodeHight(x.right)) + 1;
        
        return x;
    }

并在ALV树的添加方法和删除方法代码中，对数的平衡性进行维护：

        // 平衡维护
        if (balanceFactor > 1 && getBalanceFactor(node.left) >= 0)
            return rightRotate(node);

插入的元素在不平衡节点右侧的右侧（RR）

对于这种情况我们就需要对这个不平衡节点进行左旋转 代码实现：

    // 对节点y进行向左旋转操作，返回旋转后新的根节点x
    //    y                             x
    //  /  \                          /   \
    // T1   x      向左旋转 (y)       y     z
    //     / \   - - - - - - - ->   / \   / \
    //   T2  z                     T1 T2 T3 T4
    //      / \
    //     T3 T4
    private Node leftRotate(Node y) {
        Node x = y.right;
        Node T2 = x.left;

        // 向左旋转过程
        x.left = y;
        y.right = T2;

        // 更新height
        y.height = Math.max(getNodeHight(y.left), getNodeHight(y.right)) + 1;
        x.height = Math.max(getNodeHight(x.left), getNodeHight(x.right)) + 1;

        return x;
    }

在我们的添加方法和删除方法中对树的平衡性进行维护：

        if (balanceFactor < -1 && getBalanceFactor(node.right) <= 0)
            return leftRotate(node);

插入的元素在不平衡节点左侧的右侧（LR）

对于这种情况我们需要先进行左旋转操作，转成LL的情况，再进行右旋转：

由于我们前面已经对左旋转何有旋转都已经代码实现了，所以对该情况，只需要添加和删除方法中，对树的平衡性进行维护即可：

        //LR
        if (balanceFactor > 1 && getBalanceFactor(node.left) < 0) {
            node.left = leftRotate(node.left);
            return rightRotate(node);
        }

插入的元素在不平衡节点右侧的左侧（RL）

对于这种情况我们需要先进行右旋转操作，转成LL的情况，再进行左旋转：

在添加和删除方法中，对树的平衡性进行维护：

        //RL
        if (balanceFactor < -1 && getBalanceFactor(node.right) > 0) {
            node.right = rightRotate(node.right);
            return leftRotate(node);
        }

下面是本文实现的AVL平衡二叉树的的全部代码：

import java.util.ArrayList;
import java.util.List;

/**
 * AVL树是基于之前实现的二分搜索树，只不过加了自平衡机制
 * 因此AVL树中的元素仍然必须具有可比较性
 * 这里把AVL树设计成键值对的形式，方便后续基于AVL树实现Set和Map
 */
public class AVLTree<K extends Comparable<K>,V> {

    //节点
    private class Node{
        public K key;
        public V value;
        public Node left, right;
        //当前节点的高度
        public int height;

        public Node(K key, V value){
            this.key = key;
            this.value = value;
            left = null;
            right = null;
            height = 1;
        }
    }

    private Node root;
    private int size;

    public AVLTree(){
        root = null;
        size = 0;
    }

    public int getSize(){
        return size;
    }

    public boolean isEmpty(){
        return this.size == 0;
    }

    // 判断该二叉树是否是一棵二分搜索树
    public boolean isBST(){
        List<K> keys = new ArrayList<>();
        inOrder(root, keys);
        for(int i = 1 ; i < keys.size() ; i ++)
            if(keys.get(i - 1).compareTo(keys.get(i)) > 0)
                return false;
        return true;
    }

    //二分搜素树的中序遍历 -- 递归实现
    private void inOrder(Node node, List<K> keys){

        if(node == null)
            return;

        inOrder(node.left, keys);
        keys.add(node.key);
        inOrder(node.right, keys);
    }

    //判断该二叉树是否是一颗平衡二叉树
    public boolean isBalanced(){
        return isBalanced(root);
    }

    //判断以Node为根的二叉树是否是一棵平衡二叉树，递归算法
    private boolean isBalanced(Node node) {
        if (node == null)
            return true;

        int balanceFactor = getBalanceFactor(node);
        //判断当前节点的平衡因子是否大于1
        if(Math.abs(balanceFactor) > 1)
            return false;
        return isBalanced(node.left) && isBalanced(node.right);
    }

    //获取节点node的高度
    public int getNodeHight(Node node){
        if (node == null)
            return 0;
        return node.height;
    }

    //获取节点node的平衡因子
    public int getBalanceFactor(Node node){
        if (node == null)
            return 0;
        //平衡因子：左子树的高度 - 右子树的高度
        return getNodeHight(node.left) - getNodeHight(node.right);
    }

    // 对节点y进行向右旋转操作，返回旋转后新的根节点x
    //        y                              x
    //       / \                           /   \
    //      x   T4     向右旋转 (y)        z     y
    //     / \       - - - - - - - ->    / \   / \
    //    z   T3                       T1  T2 T3 T4
    //   / \
    // T1   T2
    private Node rightRotate(Node y) {
        Node x = y.left;
        Node T3 = x.right;

        //右旋转
        x.right = y;
        y.left = T3;

        // 更新height
        y.height = Math.max(getNodeHight(y.left), getNodeHight(y.right)) + 1;
        x.height = Math.max(getNodeHight(x.left), getNodeHight(x.right)) + 1;

        return x;
    }

    // 对节点y进行向左旋转操作，返回旋转后新的根节点x
    //    y                             x
    //  /  \                          /   \
    // T1   x      向左旋转 (y)       y     z
    //     / \   - - - - - - - ->   / \   / \
    //   T2  z                     T1 T2 T3 T4
    //      / \
    //     T3 T4
    private Node leftRotate(Node y) {
        Node x = y.right;
        Node T2 = x.left;

        // 向左旋转过程
        x.left = y;
        y.right = T2;

        // 更新height
        y.height = Math.max(getNodeHight(y.left), getNodeHight(y.right)) + 1;
        x.height = Math.max(getNodeHight(x.left), getNodeHight(x.right)) + 1;

        return x;
    }



    // 向二分搜索树中添加新的元素(key, value)
    public void add(K key, V value){
        root = add(root, key, value);
    }

    // 向以node为根的二分搜索树中插入元素(key, value)，递归算法
    // 返回插入新节点后二分搜索树的根
    private Node add(Node node, K key, V value){

        if(node == null){
            size ++;
            return new Node(key, value);
        }

        if(key.compareTo(node.key) < 0)
            node.left = add(node.left, key, value);
        else if(key.compareTo(node.key) > 0)
            node.right = add(node.right, key, value);
        else // key.compareTo(node.key) == 0
            node.value = value;

        // 更新height
        node.height = 1 + Math.max(getNodeHight(node.left), getNodeHight(node.right));

        // 计算平衡因子
        int balanceFactor = getBalanceFactor(node);
//        if(Math.abs(balanceFactor) > 1)
//            System.out.println("unbalanced : " + balanceFactor);

        // 平衡维护
        //LL
        if (balanceFactor > 1 && getBalanceFactor(node.left) >= 0)
            return rightRotate(node);

        //RR
        if (balanceFactor < -1 && getBalanceFactor(node.right) <= 0)
            return leftRotate(node);

        //LR
        if (balanceFactor > 1 && getBalanceFactor(node.left) < 0) {
            node.left = leftRotate(node.left);
            return rightRotate(node);
        }

        //RL
        if (balanceFactor < -1 && getBalanceFactor(node.right) > 0) {
            node.right = rightRotate(node.right);
            return leftRotate(node);
        }

        return node;
    }

    // 返回以node为根节点的二分搜索树中，key所在的节点
    private Node getNode(Node node, K key){

        if(node == null)
            return null;

        if(key.equals(node.key))
            return node;
        else if(key.compareTo(node.key) < 0)
            return getNode(node.left, key);
        else // if(key.compareTo(node.key) > 0)
            return getNode(node.right, key);
    }

    public boolean contains(K key){
        return getNode(root, key) != null;
    }

    public V get(K key){

        Node node = getNode(root, key);
        return node == null ? null : node.value;
    }

    public void set(K key, V newValue){
        Node node = getNode(root, key);
        if(node == null)
            throw new IllegalArgumentException(key + " doesn't exist!");

        node.value = newValue;
    }

    // 返回以node为根的二分搜索树的最小值所在的节点
    private Node minimum(Node node){
        if(node.left == null)
            return node;
        return minimum(node.left);
    }

    // 删除掉以node为根的二分搜索树中的最小节点
    // 返回删除节点后新的二分搜索树的根
    private Node removeMin(Node node){

        if(node.left == null){
            Node rightNode = node.right;
            node.right = null;
            size --;
            return rightNode;
        }

        node.left = removeMin(node.left);
        return node;
    }

    // 从二分搜索树中删除键为key的节点
    public V remove(K key){

        Node node = getNode(root, key);
        if(node != null){
            root = remove(root, key);
            return node.value;
        }
        return null;
    }

    private Node remove(Node node, K key) {

        if (node == null)
            return null;

        Node retNode;
        if (key.compareTo(node.key) < 0) {
            node.left = remove(node.left, key);
            // return node;
            retNode = node;
        } else if (key.compareTo(node.key) > 0) {
            node.right = remove(node.right, key);
            // return node;
            retNode = node;
        } else {   // key.compareTo(node.key) == 0

            // 待删除节点左子树为空的情况
            if (node.left == null) {
                Node rightNode = node.right;
                node.right = null;
                size--;
                // return rightNode;
                retNode = rightNode;
            }

            // 待删除节点右子树为空的情况
            else if (node.right == null) {
                Node leftNode = node.left;
                node.left = null;
                size--;
                // return leftNode;
                retNode = leftNode;
            }

            // 待删除节点左右子树均不为空的情况
            // 待删除节点左右子树均不为空的情况
            else{
                // 找到比待删除节点大的最小节点, 即待删除节点右子树的最小节点
                // 用这个节点顶替待删除节点的位置
                Node successor = minimum(node.right);
                //successor.right = removeMin(node.right);
                successor.right = remove(node.right, successor.key);
                successor.left = node.left;

                node.left = node.right = null;

                // return successor;
                retNode = successor;
            }
        }

        if(retNode == null)
            return null;

        // 更新height
        retNode.height = 1 + Math.max(getNodeHight(retNode.left), getNodeHight(retNode.right));

        // 计算平衡因子
        int balanceFactor = getBalanceFactor(retNode);

        // 平衡维护
        // LL
        if (balanceFactor > 1 && getBalanceFactor(retNode.left) >= 0)
            return rightRotate(retNode);

        // RR
        if (balanceFactor < -1 && getBalanceFactor(retNode.right) <= 0)
            return leftRotate(retNode);

        // LR
        if (balanceFactor > 1 && getBalanceFactor(retNode.left) < 0) {
            retNode.left = leftRotate(retNode.left);
            return rightRotate(retNode);
        }

        // RL
        if (balanceFactor < -1 && getBalanceFactor(retNode.right) > 0) {
            retNode.right = rightRotate(retNode.right);
            return leftRotate(retNode);
        }

        return retNode;
    }

    public static void main(String[] args){

        System.out.println("Pride and Prejudice");

        ArrayList<String> words = new ArrayList<>();
        if(FileOperation.readFile("pride-and-prejudice.txt", words)) {
            System.out.println("Total words: " + words.size());

            AVLTree<String, Integer> map = new AVLTree<>();
            for (String word : words) {
                if (map.contains(word))
                    map.set(word, map.get(word) + 1);
                else
                    map.add(word, 1);
            }

            System.out.println("Total different words: " + map.getSize());
            System.out.println("Frequency of PRIDE: " + map.get("pride"));
            System.out.println("Frequency of PREJUDICE: " + map.get("prejudice"));

            System.out.println("is BST : " + map.isBST());
            System.out.println("is Balanced : " + map.isBalanced());

            for(String word: words){
                map.remove(word);
                if(!map.isBST() || !map.isBalanced())
                    throw new RuntimeException();
            }
        }

        System.out.println();
    }

}