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• 使用低通滤波器模糊图像
• 0. 前言
• 1. 频域中的不同类型的核与卷积
• 1.1 图像模糊分类
• 1.2 使用不同核执行图像模糊
• 2. 使用 scipy.ndimage 滤波器模糊图像
• 2.1 使用 fourier_gaussian() 函数
• 2.2 使用 fourier_uniform() 函数
• 2.3 使用 fourier_ellipsoid() 函数
• 3. 使用 scipy.fftpack 实现高斯模糊
• 4. 彩色图像频域卷积
• 4.1 基于 scipy.signal 模块的彩色图像频域卷积
• 小结

使用低通滤波器模糊图像

0. 前言

低通滤波器 (Low Pass Filter, LPF) 过滤了图像中的高频部分，并仅允许低频部分通过。因此，在图像上应用 LPF 会删除图像中的细节/边缘和噪声/离群值，此过程也称为图像模糊(或平滑)，图像平滑可以作为复杂图像处理任务的预处理部分。在本节中，我们将学习如何使用不同类型的滤波器核执行图像卷积以模糊图像。

1. 频域中的不同类型的核与卷积

1.1 图像模糊分类

图像模糊通常包含以下类型：

• 边缘模糊 (Edge) 这种类型的模糊通常通过卷积显式地应用于图像，例如线性滤波器核或高斯核等，使用这些滤波器核可以平滑/去除图像中不必要的细节/噪声。
• 运动模糊 (Motion) 通常是由于相机在拍摄图像时抖动所产生的，也就是说，摄像机或被拍摄的对象处于移动状态。我们可以使用点扩展函数来模拟这种模糊。
• 失焦模糊 (de-focus) 当相机拍摄的对象失焦时，会产生这种类型的模糊；我们可以使用模糊 (blur) 核来模拟这种模糊。

接下来，我们创建以上三种不同类型的核，并将它们应用于图像以观察不同类型核处理图像后的结果。

1.2 使用不同核执行图像模糊

(1) 我们首先定义函数 get_gaussian_edge_blur_kernel() 以返回 2D 高斯模糊核用于边缘模糊。该函数接受高斯标准差 ( σ σ σ) 以及创建 2D 核的大小(例如，sz = 15 将创建尺寸为 15x15 的核)作为函数的参数。如下所示，首先创建了一个 1D 高斯核，然后计算两个 1D 高斯核的外积返回 2D 核：

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import numpy as np
import numpy.fft as fp
from skimage.io import imread
from skimage.color import rgbgray 
import matplotlib.pyplot as plt
import cv
 
def get_gaussian_edge_blur_kernel(sigma, sz=):
    # First create a-D Gaussian kernel
    x = np.linspace(-, 10, sz)
    kernel_d = np.exp(-x**2/sigma**2)
    kernel_d /= np.trapz(kernel_1d) # normalize the sum to 1.0
    # create a-D Gaussian kernel from the 1-D kernel
    kernel_d = kernel_1d[:, np.newaxis] * kernel_1d[np.newaxis, :]
    return kernel_d

(2) 接下来，定义函数 get_motion_blur_kernel() 以生成运动模糊核，得到给定长度且特定方向(角度)的线作为卷积核，以模拟输入图像的运动模糊效果：

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def get_motion_blur_kernel(ln, angle, sz=):
    kern = np.ones((, ln), np.float32)
    angle = -np.pi*angle/
    c, s = np.cos(angle), np.sin(angle)
    A = np.float([[c, -s, 0], [s, c, 0]])
    sz = sz // 2
    A[:,] = (sz2, sz2) - np.dot(A[:,:2], ((ln-1)*0.5, 0))
    kern = cv.warpAffine(kern, A, (sz, sz), flags=cv2.INTER_CUBIC)
    return kern

函数 get_motion_blur_kernel() 将模糊的长度和角度以及模糊核的尺寸作为参数，函数使用 OpenCV 的 warpaffine() 函数返回核矩阵(以矩阵中心为中点，使用给定长度和给定角度得到核)。

(3) 最后，定义函数 get_out_of_focus_kernel() 以生成失焦核(模拟图像失焦模糊)，其根据给定半径创建圆用作卷积核，该函数接受半径 R (Deocus Radius) 和要生成的核大小作为输入参数：

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 def get_out_of_focus_kernel(r, sz=):
    kern = np.zeros((sz, sz), np.uint)
    cv.circle(kern, (sz, sz), r, 255, -1, cv2.LINE_AA, shift=1)
    kern = np.float(kern) / 255
    return kern

(4) 接下来，实现函数 dft_convolve()，该函数使用图像的逐元素乘法和频域中的卷积核执行频域卷积(基于卷积定理)。该函数还绘制输入图像、核和卷积计算后得到的输出图像：

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def dft_convolve(im, kernel):
    F_im = fp.fft(im)
    #F_kernel = fp.fft(kernel, s=im.shape)
    F_kernel = fp.fft(fp.ifftshift(kernel), s=im.shape)
    F_filtered = F_im * F_kernel
    im_filtered = fp.ifft(F_filtered)
    cmap = 'RdBu'
    plt.figure(figsize=(,10))
    plt.gray()
    plt.subplot(), plt.imshow(im), plt.axis('off'), plt.title('input image', size=10)
    plt.subplot(), plt.imshow(kernel, cmap=cmap), plt.title('kernel', size=10)
    plt.subplot(), plt.imshow(im_filtered.real), plt.axis('off'), plt.title('output image', size=10)
    plt.tight_layout()
    plt.show()

(5) 将 get_gaussian_edge_blur_kernel() 核函数应用于图像，并绘制输入，核和输出模糊图像：

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im = rgbgray(imread('3.jpg'))
 
kernel = get_gaussian_edge_blur_kernel(, 25)
dft_convolve(im, kernel)

(6) 接下来，将 get_motion_blur_kernel() 函数应用于图像，并绘制输入，核和输出模糊图像：

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kernel = get_motion_blur_kernel(, 60, 25)
dft_convolve(im, kernel)

(7) 最后，将 get_out_of_focus_kernel() 函数应用于图像，并绘制输入，核和输出模糊图像：

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kernel = get_out_of_focus_kernel(, 20)
dft_convolve(im, kernel)

2. 使用 scipy.ndimage 滤波器模糊图像

scipy.ndimage 模块提供了一系列可以在频域中对图像应用低通滤波器的函数。本节中，我们通过几个示例学习其中一些滤波器的用法。

2.1 使用 fourier_gaussian() 函数

使用 scipy.ndimage 库中的 fourier_gaussian() 函数在频域中使用高斯核执行卷积操作。

(1) 首先，读取输入图像，并将其转换为灰度图像，并通过使用 FFT 获取其频域表示：

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import numpy as np
import numpy.fft as fp
from skimage.io import imread
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy import ndimage
 
im = imread('.png', as_gray=True)
freq = fp.fft(im)

(2) 接下来，使用 fourier_gaussian() 函数对图像执行模糊操作，使用两个具有不同标准差的高斯核，绘制输入、输出图像以及功率谱：

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fig, axes = plt.subplots(, 3, figsize=(20,15))
plt.subplots_adjust(,0,1,0.95,0.05,0.05)
plt.gray() # show the filtered result in grayscale
axes[, 0].imshow(im), axes[0, 0].set_title('Original Image', size=10)
axes[, 0].imshow((20*np.log10( 0.1 + fp.fftshift(freq))).real.astype(int)), axes[1, 0].set_title('Original Image Spectrum', size=10)
i =
for sigma in [,5]:
    convolved_freq = ndimage.fourier_gaussian(freq, sigma=sigma)
    convolved = fp.ifft(convolved_freq).real # the imaginary part is an artifact
    axes[, i].imshow(convolved)
    axes[, i].set_title(r'Output with FFT Gaussian Blur, $\sigma$={}'.format(sigma), size=10)
    axes[, i].imshow((20*np.log10( 0.1 + fp.fftshift(convolved_freq))).real.astype(int))
    axes[, i].set_title(r'Spectrum with FFT Gaussian Blur, $\sigma$={}'.format(sigma), size=10)
    i +=
for a in axes.ravel():
    a.axis('off')    
plt.show()

从上图中可以看出，高斯核的标准差 σ σ σ 值越大，输出图像就会越模糊。

2.2 使用 fourier_uniform() 函数

scipy.ndimage 模块的函数 fourier_uniform() 实现了多维均匀傅立叶滤波器。频率阵列与给定尺寸的方形核的傅立叶变换相乘。接下来，我们学习如何使用 LPF (均值滤波器)模糊输入灰度图像。

(1) 首先，读取输入图像并使用 DFT 获取其频域表示：

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im = imread('.png', as_gray=True)
freq = fp.fft(im)

(2) 然后，使用函数 fourier_uniform() 应用 10x10 方形核(由功率谱上的参数指定)，以获取平滑输出：

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freq_uniform = ndimage.fourier_uniform(freq, size=)

(3) 绘制原始输入图像和模糊后的图像：

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fig, (axes, axes2) = plt.subplots(1, 2, figsize=(20,10))
plt.gray() # show the result in grayscale
im = fp.ifft2(freq_uniform)
axes.imshow(im), axes1.axis('off')
axes.set_title('Original Image', size=10)
axes.imshow(im1.real) # the imaginary part is an artifact
axes.axis('off')
axes.set_title('Blurred Image with Fourier Uniform', size=10)
plt.tight_layout()
plt.show()

(4) 最后，绘制显示方形核的功率谱：

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plt.figure(figsize=(,10))
plt.imshow( (*np.log10( 0.1 + fp.fftshift(freq_uniform))).real.astype(int))
plt.title('Frequency Spectrum with fourier uniform', size=)
plt.show()

2.3 使用 fourier_ellipsoid() 函数

与上一小节类似，通过将方形核修改为椭圆形核，我们可以使用椭圆形核生成模糊的输出图像。

(1) 类似的，我们首先在图像的功率谱上应用函数 fourier_ellipsoid()，并使用 IDFT 在空间域中获得模糊后的输出图像：

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freq_ellipsoid = ndimage.fourier_ellipsoid(freq, size=)
im = fp.ifft2(freq_ellipsoid)

(2) 接下来，绘制原始输入图像和模糊后的图像：

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fig, (axes, axes2) = plt.subplots(1, 2, figsize=(20,10))
axes.imshow(im), axes1.axis('off')
axes.set_title('Original Image', size=10)
axes.imshow(im1.real) # the imaginary part is an artifact
axes.axis('off')
axes.set_title('Blurred Image with Fourier Ellipsoid', size=10)
plt.tight_layout()
plt.show()

(3) 最后，显示应用椭圆形核后图像的频谱：

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plt.figure(figsize=(,10))
plt.imshow( (*np.log10( 0.1 + fp.fftshift(freq_ellipsoid))).real.astype(int))
plt.title('Frequency Spectrum with Fourier ellipsoid', size=)
plt.show()

3. 使用 scipy.fftpack 实现高斯模糊

我们已经学习了如何在实际应用中使用 numpy.fft 模块的 2D-FFT。在本节中，我们将介绍 scipy.fftpack 模块的 fft2() 函数用于实现高斯模糊。

(1) 使用灰度图像作为输入，并使用 FFT 从图像中创建 2D 频率响应数组：

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import numpy as np
import numpy.fft as fp
from skimage.color import rgbgray
from skimage.io import imread
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy import signal
from matplotlib.ticker import LinearLocator, FormatStrFormatter
 
im = rgbgray(imread('1.png'))
freq = fp.fft(im)

(2) 通过计算两个 1D 高斯核的外积，在空间域中创建高斯 2D 核用作 LPF：

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kernel = np.outer(signal.gaussian(im.shape[], 1), signal.gaussian(im.shape[1], 1))

(3) 使用 DFT 获得高斯核的频率响应：

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freq_kernel = fp.fft(fp.ifftshift(kernel))

(4) 使用卷积定理通过逐元素乘法在频域中将 LPF 与输入图像卷积：

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convolved = freq*freq_kernel # by the Convolution theorem

(5) 使用 IFFT 获得输出图像，需要注意的是，要正确显示输出图像，需要缩放输出图像：

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im_blur = fp.ifft(convolved).real
im_blur = * im_blur / np.max(im_blur)

(6) 绘制图像、高斯核和在频域中卷积后获得图像的功率谱，可以使用 matplotlib.colormap 绘制色，以了解不同坐标下的频率响应值：

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plt.figure(figsize=(,20))
plt.subplot(), plt.imshow(kernel, cmap='coolwarm'), plt.colorbar()
plt.title('Gaussian Blur Kernel', size=)
plt.subplot()
plt.imshow( (*np.log10( 0.01 + fp.fftshift(freq_kernel))).real.astype(int), cmap='inferno')
plt.colorbar()
plt.title('Gaussian Blur Kernel (Freq. Spec.)', size=)
plt.subplot(), plt.imshow(im, cmap='gray'), plt.axis('off'), plt.title('Input Image', size=10)
plt.subplot(), plt.imshow(im_blur, cmap='gray'), plt.axis('off'), plt.title('Output Blurred Image', size=10)
plt.tight_layout()
plt.show()

(7) 要绘制输入/输出图像和 3D 核的功率谱，我们定义函数 plot_3d()，使用 mpl_toolkits.mplot3d 模块的 plot_surface() 函数获取 3D 功率谱图，给定相应的 Y 和Z值作为 2D 阵列传递：

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def plot_d(X, Y, Z, cmap=plt.cm.seismic):
    fig = plt.figure(figsize=(,20))
    ax = fig.gca(projection='d')
    # Plot the surface.
    surf = ax.plot_surface(X, Y, Z, cmap=cmap, linewidth=, antialiased=False)
    #ax.plot_wireframe(X, Y, Z, rstride=, cstride=10)
    #ax.set_zscale("log", nonposx='clip')
    #ax.zaxis.set_scale('log')
    ax.zaxis.set_major_locator(LinearLocator())
    ax.zaxis.set_major_formatter(FormatStrFormatter('%.f'))
    ax.set_xlabel('F', size=15)
    ax.set_ylabel('F', size=15)
    ax.set_zlabel('Freq Response', size=)
    #ax.set_zlim((-,10))
    # Add a color bar which maps values to colors.
    fig.colorbar(surf) #, shrink=.15, aspect=10)
    #plt.title('Frequency Response of the Gaussian Kernel')
    plt.show()   

(8) 在 3D 空间中绘制高斯核的频率响应，并使用 plot_3d() 函数：

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Y = np.arange(freq.shape[]) #-freq.shape[0]//2,freq.shape[0]-freq.shape[0]//2)
X = np.arange(freq.shape[]) #-freq.shape[1]//2,freq.shape[1]-freq.shape[1]//2)
X, Y = np.meshgrid(X, Y)
Z = (*np.log10( 0.01 + fp.fftshift(freq_kernel))).real
plot_d(X,Y,Z)

下图显示了 3D 空间中高斯 LPF 核的功率谱：

(9) 绘制 3D 空间中输入图像的功率谱：

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Z = (*np.log10( 0.01 + fp.fftshift(freq))).real
plot_d(X,Y,Z)

(10) 最后，绘制输出图像的功率谱(通过将高斯核与输入图像卷积获得)：

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Z = (*np.log10( 0.01 + fp.fftshift(convolved))).real
plot_d(X,Y,Z)

从输出图像的频率响应中可以看出，高频组件被衰减，从而导致细节的平滑/丢失，并导致输出图像模糊。

4. 彩色图像频域卷积

在本节中，我们将学习使用 scipy.signal 模块的 fftconvolve() 函数，用于与 RGB 彩色输入图像进行频域卷积，从而生成 RGB 彩色模糊输出图像：

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scipy.signal.fftconvolve(in, in2, mode='full', axes=None)

函数使用 FFT 卷积两个 n 维数组 in1 和 in2，并由 mode 参数确定输出大小。卷积模式 mode 具有以下类型：

• 输出是输入的完全离散线性卷积，默认情况下使用此种卷积模式
• 输出仅由那些不依赖零填充的元素组成，in1 或 in2 的尺寸必须相同
• 输出的大小与 in1 相同，并以输出为中心

4.1 基于 scipy.signal 模块的彩色图像频域卷积

接下来，我们实现高斯低通滤波器并使用 Laplacian 高通滤波器执行相应操作。

(1) 首先，导入所需的包，并读取输入 RGB 图像：

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from skimage import img_as_float
from scipy import signal
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
 
im = img_as_float(plt.imread('.png'))

(2) 实现函数 get_gaussian_edge_kernel()，并根据此函数创建一个尺寸为 15x15 的高斯核：

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def get_gaussian_edge_blur_kernel(sigma, sz=):
    # First create a-D Gaussian kernel
    x = np.linspace(-, 10, sz)
    kernel_d = np.exp(-x**2/sigma**2)
    kernel_d /= np.trapz(kernel_1d) # normalize the sum to 1.0
    # create a-D Gaussian kernel from the 1-D kernel
    kernel_d = kernel_1d[:, np.newaxis] * kernel_1d[np.newaxis, :]
    return kernel_d
kernel = get_gaussian_edge_blur_kernel(sigma=, sz=15)

(3) 然后，使用 np.newaxis 将核尺寸重塑为 15x15x1，并使用 same 模式调用函数 signal.fftconvolve()：

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im = signal.fftconvolve(im, kernel[:, :, np.newaxis], mode='same')
im = im1 / np.max(im1)

在以上代码中使用的 mode='same'，可以强制输出形状与输入阵列形状相同，以避免边框效应。

(4) 接下来，使用 laplacian HPF 内核，并使用相同函数执行频域卷积。需要注意的是，我们可能需要缩放/裁剪输出图像以使输出值保持像素的浮点值范围 [0,1] 内：

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kernel = np.array([[,-1,0],[-1,4,-1],[0,-1,0]])
im = signal.fftconvolve(im, kernel[:, :, np.newaxis], mode='same')
im = im2 / np.max(im2)
im = np.clip(im2, 0, 1)

(5) 最后，绘制输入图像和使用卷积创建的输出图像。

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plt.figure(figsize=(,10))
plt.subplot(), plt.imshow(im), plt.axis('off'), plt.title('original image', size=10)
plt.subplot(), plt.imshow(im1), plt.axis('off'), plt.title('output with Gaussian LPF', size=10)
plt.subplot(), plt.imshow(im2), plt.axis('off'), plt.title('output with Laplacian HPF', size=10)
plt.tight_layout()
plt.show()

如上图所示，高斯 LPF 可以用于模糊图像，而拉普拉斯 HPF 则可以用于提取图像中的细节/边缘(这些部分对应于图像中的高频分量)。

小结

在图像上应用低通滤波器会删除图像中的细节/边缘和噪声/离群值，称为图像模糊(或平滑)，图像平滑可以作为复杂图像处理任务的预处理部分。在本节中，我们介绍了多种不同类型的滤波器核与卷积操作，使用 scipy.ndimage 模块中的滤波器模糊图像，利用 scipy.fftpack 模块的 fft2() 函数实现高斯模糊，还介绍了基于 scipy.signal 模块的彩色图像频域卷积。