什么是红黑树
红黑树依然是一棵二分搜索树，《算法导论》中的红黑树定义如下：
- 每个节点或者是红色的，或者是黑色的
- 根节点是黑色的
- 每一个叶子节点（最后的空节点）是黑色的
- 如果一个节点是红色的，那么他的孩子节点都是黑色的
- 从任意一个节点到叶子节点，经过的黑色节点是一样的
在学习红黑树之前，我们有必要先学习一下什么是2-3树，学习2-3树不仅对于理解红黑树有帮助，对于理解B类树，也是有巨大帮助的。我们常用到的磁盘存储、文件系统、数据库等相应的数据存储都是采用的B类树这样的数据结构。
什么是2-3树
2-3树依然满足二分搜索树的基本性质，但2-3树不是一种二叉树，2-3树有两种节点，节点可以存放一个元素或者两个元素；2-3树是一棵绝对平衡的树，2-3树对于任意一个节点的的左右子树的高度一定是相等的
2-3树的添加操作
2-3树的添加操作将新节点添加到空的位置，若添加一个比根节点小的元素，并且根节点的左子树为空，待添加的新元素会和根节点先融合，由二节点变成三节点，当此时再添加一个元素时，会发现根节点的左子树仍然为空，就还是会先和根节点向融合，但2-3树不能有四节点，最多只能有三节点，所以需要将这个四节点分裂成有三个二节点的绝对平衡二叉树，如图：
让我们再来看一下2-3树添加元素的过程：
再向2-3树中添加一些元素，找出规律：
通过如上的分析，不难知道，如果添加一个元素是添加到一个2-节点，会直接与之融合，如果是添加到一个3-节点，会暂时融合形成一个四节点，然后分裂成一个绝对平衡树。如下图所示：
红黑树与2-3树的等价性
我们在这里定义所有的红色节点都是向左倾斜的，红色节点代表与父亲节点相融合，由于我们可以通过2-3树画出一个棵红黑树：
由此可知，红黑树是保持“黑平衡”的二叉树，严格意义上 ，不是平衡二叉树，最大高度为2logn,并且从图中也可以看出，只有三节点左侧的元素才是红色的。红黑树和AVL树：由于红黑树的最大高度是2logn,所以在查找时，相比于AVL树会慢一些，而红黑树的添加和删除元素比AVL树更快一些，如果只是用于查询，AVL树的性能要更高一些。 向红黑树中添加一个新元素，类比于2-3树中添加一个新元素，就是或者添加进2-节点，形成3-节点；或者添加进3-节点，暂时形成一个4-节点，这样我们可以让我们的红黑树，永远添加红节点。由于我们在本文是定义的所有红色节点都是向左倾斜的，当我们新添加的红色节点在根节点的右侧时，我们需要先进行左旋转擦欧总，然后再进行染色操作，在我们左旋转的过程中并不保持红黑树的性质，如下图：
左旋转的代码实现：
| // node x | |
| // / \ 左旋转 / \ | |
| // T1 x ---------> node T3 | |
| // / \ / \ | |
| // T2 T3 T1 T2 | |
| private Node leftRotate(Node node){ | |
| Node x = node.right; | |
| // 左旋转 | |
| node.right = x.left; | |
| x.left = node; | |
| x.color = node.color; | |
| node.color = RED; | |
| return x; | |
| } |
当我们向红黑树中的“3-节点”添加新元素，由于添加的新节点颜色都默认是红色的，红色节点表示是去和 父亲节点融合的，当4-节点分裂成3个2-节点时，新的根节点需要和父亲节点去融合，这意味着这个新的根节点需要变成红色节点。
颜色翻转的代码实现：
| // 颜色翻转 | |
| private void flipColors(Node node){ | |
| node.color = RED; | |
| node.left.color = BLACK; | |
| node.right.color = BLACK; | |
| } |
三个2-节点的自平衡，如图：
右旋转代码实现：
| // node x | |
| // / \ 右旋转 / \ | |
| // x T2 -------> y node | |
| // / \ / \ | |
| // y T1 T1 T2 | |
| private Node rightRotate(Node node){ | |
| Node x = node.left; | |
| // 右旋转 | |
| node.left = x.right; | |
| x.right = node; | |
| x.color = node.color; | |
| node.color = RED; | |
| return x; | |
| } |
三节点的另外一种情况：
像红黑树中添加节点，就分析到这里了，下面让我们来用代码实现一个红黑树和红黑树的添加操作：
| public class RBTree<K extends Comparable<K>, V> { | |
| private static final boolean RED = true; | |
| private static final boolean BLACK = false; | |
| private class Node{ | |
| public K key; | |
| public V value; | |
| public Node left, right; | |
| public boolean color; | |
| public Node(K key, V value){ | |
| this.key = key; | |
| this.value = value; | |
| left = null; | |
| right = null; | |
| color = RED; | |
| } | |
| } | |
| private Node root; | |
| private int size; | |
| public RBTree(){ | |
| root = null; | |
| size = 0; | |
| } | |
| public int getSize(){ | |
| return size; | |
| } | |
| public boolean isEmpty(){ | |
| return size == 0; | |
| } | |
| // 判断节点node的颜色 | |
| private boolean isRed(Node node){ | |
| if(node == null) | |
| return BLACK; | |
| return node.color; | |
| } | |
| // node x | |
| // / \ 左旋转 / \ | |
| // T1 x ---------> node T3 | |
| // / \ / \ | |
| // T2 T3 T1 T2 | |
| private Node leftRotate(Node node){ | |
| Node x = node.right; | |
| // 左旋转 | |
| node.right = x.left; | |
| x.left = node; | |
| x.color = node.color; | |
| node.color = RED; | |
| return x; | |
| } | |
| // node x | |
| // / \ 右旋转 / \ | |
| // x T2 -------> y node | |
| // / \ / \ | |
| // y T1 T1 T2 | |
| private Node rightRotate(Node node){ | |
| Node x = node.left; | |
| // 右旋转 | |
| node.left = x.right; | |
| x.right = node; | |
| x.color = node.color; | |
| node.color = RED; | |
| return x; | |
| } | |
| // 颜色翻转 | |
| private void flipColors(Node node){ | |
| node.color = RED; | |
| node.left.color = BLACK; | |
| node.right.color = BLACK; | |
| } | |
| // 向红黑树中添加新的元素(key, value) | |
| public void add(K key, V value){ | |
| root = add(root, key, value); | |
| root.color = BLACK; // 最终根节点为黑色节点 | |
| } | |
| // 向以node为根的红黑树中插入元素(key, value)，递归算法 | |
| // 返回插入新节点后红黑树的根 | |
| private Node add(Node node, K key, V value){ | |
| if(node == null){ | |
| size ++; | |
| return new Node(key, value); // 默认插入红色节点 | |
| } | |
| if(key.compareTo(node.key) < 0) | |
| node.left = add(node.left, key, value); | |
| else if(key.compareTo(node.key) > 0) | |
| node.right = add(node.right, key, value); | |
| else // key.compareTo(node.key) == 0 | |
| node.value = value; | |
| if (isRed(node.right) && !isRed(node.left)) | |
| node = leftRotate(node); | |
| if (isRed(node.left) && isRed(node.left.left)) | |
| node = rightRotate(node); | |
| if (isRed(node.left) && isRed(node.right)) | |
| flipColors(node); | |
| return node; | |
| } | |
| // 返回以node为根节点的二分搜索树中，key所在的节点 | |
| private Node getNode(Node node, K key){ | |
| if(node == null) | |
| return null; | |
| if(key.equals(node.key)) | |
| return node; | |
| else if(key.compareTo(node.key) < 0) | |
| return getNode(node.left, key); | |
| else // if(key.compareTo(node.key) > 0) | |
| return getNode(node.right, key); | |
| } | |
| public boolean contains(K key){ | |
| return getNode(root, key) != null; | |
| } | |
| public V get(K key){ | |
| Node node = getNode(root, key); | |
| return node == null ? null : node.value; | |
| } | |
| public void set(K key, V newValue){ | |
| Node node = getNode(root, key); | |
| if(node == null) | |
| throw new IllegalArgumentException(key + " doesn't exist!"); | |
| node.value = newValue; | |
| } | |
| // 返回以node为根的二分搜索树的最小值所在的节点 | |
| private Node minimum(Node node){ | |
| if(node.left == null) | |
| return node; | |
| return minimum(node.left); | |
| } | |
| // 删除掉以node为根的二分搜索树中的最小节点 | |
| // 返回删除节点后新的二分搜索树的根 | |
| private Node removeMin(Node node){ | |
| if(node.left == null){ | |
| Node rightNode = node.right; | |
| node.right = null; | |
| size --; | |
| return rightNode; | |
| } | |
| node.left = removeMin(node.left); | |
| return node; | |
| } | |
| // 从二分搜索树中删除键为key的节点 | |
| public V remove(K key){ | |
| Node node = getNode(root, key); | |
| if(node != null){ | |
| root = remove(root, key); | |
| return node.value; | |
| } | |
| return null; | |
| } | |
| private Node remove(Node node, K key){ | |
| if( node == null ) | |
| return null; | |
| if( key.compareTo(node.key) < 0 ){ | |
| node.left = remove(node.left , key); | |
| return node; | |
| } | |
| else if(key.compareTo(node.key) > 0 ){ | |
| node.right = remove(node.right, key); | |
| return node; | |
| } | |
| else{ // key.compareTo(node.key) == 0 | |
| // 待删除节点左子树为空的情况 | |
| if(node.left == null){ | |
| Node rightNode = node.right; | |
| node.right = null; | |
| size --; | |
| return rightNode; | |
| } | |
| // 待删除节点右子树为空的情况 | |
| if(node.right == null){ | |
| Node leftNode = node.left; | |
| node.left = null; | |
| size --; | |
| return leftNode; | |
| } | |
| // 待删除节点左右子树均不为空的情况 | |
| // 找到比待删除节点大的最小节点, 即待删除节点右子树的最小节点 | |
| // 用这个节点顶替待删除节点的位置 | |
| Node successor = minimum(node.right); | |
| successor.right = removeMin(node.right); | |
| successor.left = node.left; | |
| node.left = node.right = null; | |
| return successor; | |
| } | |
| } | |
| } |
最后，在这里做一个红黑树的总结： 对于完全随机的数据，普通的二分搜索树就很好用，缺点:极端情况会退化成链表（或者高度布不平衡）；对于查询较多的情况，AVL树很好用！红黑树牺牲了平衡性（2logn的高度），统计性能更优（综和增删改查所有的操作）。